Detalhes
GEOMETRIA LINEAR
Nome da Disciplina: GEOMETRIA LINEAR
Carga Horária: 60
Créditos: 4
Disciplina Regular: Sim
EMENTA
Pré-requisitos: Álgebra Linear, Topologia Geral.
Conteúdo:
(1) Espaços projetivos: espaços P(V ), KPn
, subespaços, dimensão, hiperplanos, soma e in-
terseção de subespaços, fórmula de Graßmann, posição geral, referenciais, coordenadas
homogêneas, Graßmannianas Gr(k,V ), coordenadas de Plücker, Gr(2,K4
) ∼= Gr(1,P
3
).
(2) Completamentos projetivos: espaços afins, projeção estereográfica, S
1 = RP1
, esfera de Ri-
emann S
2 = CP1
, coordenadas não homogêneas vs. homogêneas, decomposição celular
P
n = R
n tP
n−1
, RP3 = SO(3), fecho projetivo e deshomogeneização.
(3) DUALIDADE: espaço dual P
∨, aniquiladores, dualidade Gr(k,P) ∼= Gr(n−k−1,P
∨), fórmula
de Graßmann, sistemas lineares de hiperplanos, feixes, princípio de dualidade (teoremas de
Pascal e Brianchon), teorema de Desargues, planos projetivos abstratos (axiomática, plano
de Fano GP2(2)).
(4) Transformações projetivas: GL(P), PGL(n,K), pontos fixos, projeções centrais, mudança
de coordenadas, razão cruzada em KP1
, uso da razão cruzada para definir a geometria
hiperbólica e esférica.
(5) Quádricas: pontos reais, retas isotrópicas, pontos cíclicos, circunferências, classificação
projetiva das cônicas, polaridade, classificação afim das cônicas, diâmetros, centros, as-
síntotas, eixos, focos, classificação projetiva e afim das superfícies quádricas, feixes de
quádricas.
(6) Álgebra multilinear: álgebra tensorial N•V , formas alternantes, produto wedge e álgebra
exterior V•V , forma de volume e orientação, formas decomponíveis, mergulho de Plücker,
quádrica de Klein e seus subespaços lineares (α- e β-planos).
BIBLIOGRAFIA
• N.J.Hitchin, Linear geometry, notas de aula, University of Oxford, 1987
• E.Fortuna, R.Frigerio, R.Pardini, Projective Geometry, Springer-Verlag 2016
• A.Alves de Barros, P.de Andrade, Introdução à Geometria Projetiva, SBM 2010
• E.G.Rees, Notes on geometry, Springer-Verlag 1983.
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Nome da Disciplina: GEOMETRIA LINEAR
Carga Horária: 60
Créditos: 4
Obrigatória: Sim
EMENTA
Pré-requisitos: Álgebra Linear, Topologia Geral.
Conteúdo:
(1) Espaços projetivos: espaços P(V ), KPn
, subespaços, dimensão, hiperplanos, soma e in-
terseção de subespaços, fórmula de Graßmann, posição geral, referenciais, coordenadas
homogêneas, Graßmannianas Gr(k,V ), coordenadas de Plücker, Gr(2,K4
) ∼= Gr(1,P
3
).
(2) Completamentos projetivos: espaços afins, projeção estereográfica, S
1 = RP1
, esfera de Ri-
emann S
2 = CP1
, coordenadas não homogêneas vs. homogêneas, decomposição celular
P
n = R
n tP
n−1
, RP3 = SO(3), fecho projetivo e deshomogeneização.
(3) DUALIDADE: espaço dual P
∨, aniquiladores, dualidade Gr(k,P) ∼= Gr(n−k−1,P
∨), fórmula
de Graßmann, sistemas lineares de hiperplanos, feixes, princípio de dualidade (teoremas de
Pascal e Brianchon), teorema de Desargues, planos projetivos abstratos (axiomática, plano
de Fano GP2(2)).
(4) Transformações projetivas: GL(P), PGL(n,K), pontos fixos, projeções centrais, mudança
de coordenadas, razão cruzada em KP1
, uso da razão cruzada para definir a geometria
hiperbólica e esférica.
(5) Quádricas: pontos reais, retas isotrópicas, pontos cíclicos, circunferências, classificação
projetiva das cônicas, polaridade, classificação afim das cônicas, diâmetros, centros, as-
síntotas, eixos, focos, classificação projetiva e afim das superfícies quádricas, feixes de
quádricas.
(6) Álgebra multilinear: álgebra tensorial N•V , formas alternantes, produto wedge e álgebra
exterior V•V , forma de volume e orientação, formas decomponíveis, mergulho de Plücker,
quádrica de Klein e seus subespaços lineares (α- e β-planos).
BIBLIOGRAFIA
• N.J.Hitchin, Linear geometry, notas de aula, University of Oxford, 1987
• E.Fortuna, R.Frigerio, R.Pardini, Projective Geometry, Springer-Verlag 2016
• A.Alves de Barros, P.de Andrade, Introdução à Geometria Projetiva, SBM 2010
• E.G.Rees, Notes on geometry, Springer-Verlag 1983.