Detalhes

Nome da Disciplina: GEOMETRIA LINEAR

Carga Horária: 60

Créditos: 4

Disciplina Regular: Sim

Pré-requisitos: Álgebra Linear, Topologia Geral. Conteúdo: (1) Espaços projetivos: espaços P(V ), KPn , subespaços, dimensão, hiperplanos, soma e in- terseção de subespaços, fórmula de Graßmann, posição geral, referenciais, coordenadas homogêneas, Graßmannianas Gr(k,V ), coordenadas de Plücker, Gr(2,K4 ) ∼= Gr(1,P 3 ). (2) Completamentos projetivos: espaços afins, projeção estereográfica, S 1 = RP1 , esfera de Ri- emann S 2 = CP1 , coordenadas não homogêneas vs. homogêneas, decomposição celular P n = R n tP n−1 , RP3 = SO(3), fecho projetivo e deshomogeneização. (3) DUALIDADE: espaço dual P ∨, aniquiladores, dualidade Gr(k,P) ∼= Gr(n−k−1,P ∨), fórmula de Graßmann, sistemas lineares de hiperplanos, feixes, princípio de dualidade (teoremas de Pascal e Brianchon), teorema de Desargues, planos projetivos abstratos (axiomática, plano de Fano GP2(2)). (4) Transformações projetivas: GL(P), PGL(n,K), pontos fixos, projeções centrais, mudança de coordenadas, razão cruzada em KP1 , uso da razão cruzada para definir a geometria hiperbólica e esférica. (5) Quádricas: pontos reais, retas isotrópicas, pontos cíclicos, circunferências, classificação projetiva das cônicas, polaridade, classificação afim das cônicas, diâmetros, centros, as- síntotas, eixos, focos, classificação projetiva e afim das superfícies quádricas, feixes de quádricas. (6) Álgebra multilinear: álgebra tensorial N•V , formas alternantes, produto wedge e álgebra exterior V•V , forma de volume e orientação, formas decomponíveis, mergulho de Plücker, quádrica de Klein e seus subespaços lineares (α- e β-planos).

• N.J.Hitchin, Linear geometry, notas de aula, University of Oxford, 1987 • E.Fortuna, R.Frigerio, R.Pardini, Projective Geometry, Springer-Verlag 2016 • A.Alves de Barros, P.de Andrade, Introdução à Geometria Projetiva, SBM 2010 • E.G.Rees, Notes on geometry, Springer-Verlag 1983.