Verão 2024

Horário: 10h.

Sala: Sala 411 – Bloco H – Gragoatá.

Pré-requisitos: Geometria diferencial.

Programação: Serão 4 aulas, todas começando na segunda, quarta, quinta e sexta feira. Mais precisamente, nos dias 22, 24, 25 e 26 de Janeiro.
Neste minicurso de verão queremos introduzir as noções básicas de superfícies mínimas e dar algumas propriedades desta classe de superfícies no espaço Euclidiano. Esse curso esta dirigido para estudantes de mestrado o doutorado com interesse na área de geometria diferencial. Os temas neste minicurso são os seguintes:

• A equação de superfícies mínima para gráficos e alguns exemplos de superfícies mínimas (2 aulas);

• A primeira e segunda formula de variação da área e algumas consequências (3 aulas).

Referências:

[1] A course in minimal surfaces. Tobias Colding and William Minicozzi. American Mathematical Society, 2011.

[2] A survey of minimal surfaces. Robert Osserman. Dover Publications, 1986.

[3] Lectures on minimal surfaces. Brian White. ArXiv January 2016.

Horário: 13h30 (novo horário)

Sala: Sala 407 – Bloco H – Gragoatá

Professores: Lucas Oliveira (UFRGS), Luna Lomonaco (IMPA) e Miguel Laude (doutorando IMPA).

Pré-requisitos: Análise Complexa, Sistemas Dinâmicos.

Programação: O objetivo principal deste mini-curso é introduzir os fundamentos sobre a teoria de mapeamentos quase conformes e algumas de suas aplicações em problemas de dinâmica. Mais especificamente, nossa intenção é cobrir os seguintes tópicos:

– Definições analíticas e geométricas de mapas quase-conformes.

– Propriedades básicas.

– Módulo de quadriláteros e caracterização de valores de contorno de mapas quaseconformes.

– Cirurgia quase-conforme.

– O teorema de Herman em dinâmica unidimensional.

Se o tempo permitir, incluiremos resultados mais recentes.

Referências:

[1] Ahlfors, L., Lectures on Quasiconformal Mappings, Van Nostrand, 1966.

[2] Branner, B., Fagella, N., Quasiconformal Surgery in Holomorphic Dynamics, Cambridge University Press, 2014.

[3] Carleson, L., Gamelin, T., Complex dynamics, Springer-Verlag, 1993.

[4] de Faria, E., Guarino, P., Dynamics of Circle Mappings, 33º Colóquio Brasileiro de Matemática, IMPA Mathematical Publications, 2021.

[5] de Faria, E., de Melo, W., Mathematical tools for one-dimensional dynamics, Cambridge University Press, 2008.

[6] Milnor, J., Dynamics in One Complex Variable, Annals of Math. Studies, Princeton University Press, 160, 2006.

Horário: 10h.

Sala: Sala 407 – Bloco H – Gragoatá.

Professor: Daniel Smania (USP São Carlos).

Pré-requisitos: Sistemas Dinâmicos e Teoria Ergódica.

Programação: Em dinâmica unidimensional, frequentemente a classe topológica de uma transformação é uma variedade de codimensão finita. Em particular podemos estudar deformações de sistemas dinâmicos, isto é, deformar suavemente um sistema dinâmico mas mantendo a mesma dinâmica topológica. Isto leva a questões interessantes sobre como medidas invariantes e pontos periódicos são deformados numa classe topológica. Em vários trabalhos com Viviane Baladi, Amanda de Lima e mais recentemente Clodoaldo Ragazzo investigamos essas questões para transformações expansoras por pedaços, e apareceram conexões inusitadas com a teoria ergódica destes sistemas, particularmente com operadores de transferência. Neste minicurso faremos uma introdução a estes resultados e métodos.

Horário: 14h

Sala: 407 – Bloco H – Gragoatá.

Professor: Alan Muniz (UNICAMP).

Pré-requisitos: noções básicas de geometria complexa.

Programação: Uma distribuição D no espaço projetivo P pode ser definida por um subfeixe saturado TD do feixe tangente TP; quando TD é involutivo, dizemos que D é integrável, ou que D é uma folheação. Vamos estudar conceitos básicos destes objetos: esquema singular, resultados de classificação e espaços de módulos. Além disso, trataremos de algumas questões em aberto e possíveis direções futuras.

Referências:

[1] Calvo-Andrade, O., Corrêa, M., Jardim, M. Codimension one holomorphic distributions on the projective three-space. Int. Math. Res. Not. IMRN 2020, no. 23, 9011–9074.

[2] Corrêa, M., Jardim, M., Muniz, A. Moduli of distributions via singular schemes. Math. Z. 301 (2022), no. 3, 2709–2731.

[3] Galeano, H., Jardim, M., Muniz, A. Codimension one distributions of degree 2 on the three-dimensional projective space. J. Pure Appl. Algebra 226 (2022)

[4] Muniz, A. p-Forms from Syzygies. arXiv:2212.11845, (2022)

[5] Quallbrunn, F. Families of distributions and Pfaff systems under duality. J. Singul. 11 (2015), 164–189.

Horário: a confirmar.

Sala: a definir.

Professor: André Contiero (UFMG).

Pré-requisitos: noções básicas de geometria algébrica.

Programação:

A gonalidade de uma curva lisa é o menor grau com que ela cobre a reta projetiva, sendo uma medida de racionalidade. Neste minicurso serão revistos os principais conceitos e resultados sobre sistemas lineares sobre curvas e gonalidade. Será mostrado que a gonalidade de uma curva plana de grau d é d−1. Será apresentada a cota inferior para a gonalidade de uma curva que é intersecção completa num espaço projetivo, resultado devido a Lazarsfeld. Após será mostrada uma variante da cota inferior de Lazarsfeld para curvas que são intersecções completas em espaço biprojevitos. As aplicações ficam no campo do espaço de moduli de curvas.

Referências:

[1] E. Arbarello, M. Cornalba, P.A. Griffiths and J. Harris, Geometry of algebraic curves, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften 267 Springer-Verlag, 1985.

[2] E. Ballico, A. Contiero and Maxwell Santos, Complete Intersections Curves in Biprojective Spaces, working in progress (2023).

[3] R. Lazarsfeld, Positivity in Algebraic Geometry I, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Springer 2004.

[4] S. Mukai, Curves and Grassmannians, Algebraic Geometry and Related Topics, Inchoen, Korea, 1992, J-H. Yang, Y. Namikawa and K.Ueno (eds.), International Press, Boston, 1993, pp. 19–40.

[5] S. Mukai, Curves and Symmetric Spaces I, Amer. J. of Math., 117, (1995) 1627–1644.

[6] S. Mukai e M. Ide, Canonical curves of genus eight, Proceedings of the Japan Academy 79 (2003) 59-64.

Horário: 14h.

Sala: 407 – Bloco H – Gragoatá.

Professor: Herivelto Borges (USP).

Pré-requisitos: noções básicas sobre corpos finitos e curvas algébricas.

Programação:

• Fq rational places, divisors and linear series.

• The Stöhr-Voloch theorem.

• Frobenius classicality with respect to lines.

• Frobenius classicality with respect to conics.

• The dual of a Frobenius non-classical curve.

• Zeta-function and curves with many rational points.

• The Zeta-function of a curve over a finite field.

• The Hasse-Weil theorem.

• Asymptotic bounds.

• Elliptic curves over Fq.

• Background on maximal curves.

• Castelnuovo’s number.

• Plane maximal curves and maximal curves of Hurwitz type.

• Non-isomorphic maximal curves.

Se o tempo permitir, incluiremos resultados mais recentes.

Referências:

[1] Arakelian N., Borges H., Bounds for the number of points on curves over finite fields, Israel Journal of Math. 228, (2018) 177-199.

[2] Hirschfeld, J.W.P., Korchmáros G., Torres F., Algebraic curves over a finite field, Princeton Series in App. Math., 2008.

[3] Stöhr K.O., Voloch J.F., Weierstrass points and curves over finite fields, Proc. London Math. Soc. 52(1986) 1-19.