Detalhes
TEORIA DE LIE
Nome da Disciplina: TEORIA DE LIE
Carga Horária: 60
Créditos: 4
Disciplina Regular: Sim
EMENTA
Pré-requisitos:
Álgebra Linear II • Variedades diferenciáveis • Topologia geral • Ações de grupos
(1) Recapitulação/introdução: ações de grupos, espaço das órbitas, isotropia, ações livres; grupos topológicos e ações contínuas, componente conexa da identidade, homeomorfismo G/Gx ∼= G x; grupos de matrizes (clássicos); representações irredutíveis, lema de Schur.
(2) Recapitulação: subvariedades e funções suaves, imersões e submersões em forma canônica, teorema do valor regular; fibrado tangente e campos vetoriais, curvas integrais e fluxos; colchete de Lie e derivada de Lie; folheações, distribuições e integrabilidade; quocientes e critério de Godement.
(3) Grupos de Lie: categoria e exemplos, componente conexa na identidade; subgrupos, quocientes; grupos conexos e compactos.
(4) Grupos e álgebras: álgebra de Lie de um grupo de Lie, definição analítica, campos invariantes à esquerda; aplicação exponencial e propriedades; representação adjunta; subgrupos a 1 parâmetro, teorema de Lie-Palais.
(5) Subgrupos de Lie: subgrupos (normais) e sub-álgebras (ideais), subgrupos fechados, conexos; correspondência entre subgrupos conexos e sub-álgebras; homomorfismos; variedades homogêneas, ações próprias e propriamente descontínuas; o teorema de Lie em forma global; Ad◦exp = exp ad, fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff.
(6) Álgebras de Lie de dimensão finita: categoria e exemplos, centro, derivações, teorema de Ado-Iwasawa, diferencial de Chevalley-Eilenberg.
(7) Teoremas estruturais: grupos abelianos conexos; forma de Cartan-Killing; álgebras nilpotentes e solúveis, teorema de Engels; álgebras semi-simples, compactas, teorema de Weyl para grupos compactos; ideia da classificação de Cartan.
(1) Recapitulação/introdução: ações de grupos, espaço das órbitas, isotropia, ações livres; grupos topológicos e ações contínuas, componente conexa da identidade, homeomorfismo G/Gx ∼= G x; grupos de matrizes (clássicos); representações irredutíveis, lema de Schur.
(2) Recapitulação: subvariedades e funções suaves, imersões e submersões em forma canônica, teorema do valor regular; fibrado tangente e campos vetoriais, curvas integrais e fluxos; colchete de Lie e derivada de Lie; folheações, distribuições e integrabilidade; quocientes e critério de Godement.
(3) Grupos de Lie: categoria e exemplos, componente conexa na identidade; subgrupos, quocientes; grupos conexos e compactos.
(4) Grupos e álgebras: álgebra de Lie de um grupo de Lie, definição analítica, campos invariantes à esquerda; aplicação exponencial e propriedades; representação adjunta; subgrupos a 1 parâmetro, teorema de Lie-Palais.
(5) Subgrupos de Lie: subgrupos (normais) e sub-álgebras (ideais), subgrupos fechados, conexos; correspondência entre subgrupos conexos e sub-álgebras; homomorfismos; variedades homogêneas, ações próprias e propriamente descontínuas; o teorema de Lie em forma global; Ad◦exp = exp ad, fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff.
(6) Álgebras de Lie de dimensão finita: categoria e exemplos, centro, derivações, teorema de Ado-Iwasawa, diferencial de Chevalley-Eilenberg.
(7) Teoremas estruturais: grupos abelianos conexos; forma de Cartan-Killing; álgebras nilpotentes e solúveis, teorema de Engels; álgebras semi-simples, compactas, teorema de Weyl para grupos compactos; ideia da classificação de Cartan.
BIBLIOGRAFIA
L.San Martin, Grupos de Lie, editora Unicamp, 2016
L.San Martin, Álgebras de Lie, editora Unicamp, 2009
Rossmann, Lie Groups. An Introduction through Linear Groups, Oxford University Press, 2002
J.P. Serre, Complex Semi Simple Lie Algebras, Springer-Verlag, 1987
Bredon, Compact transformation groups, Academic Press, 1972
Duistermaat-Kolk, Lie Groups, Springer-Verlag, 2000
Bröcker-tom Dieck, Representations of compact Lie groups, Springer-Verlag, 1985
Fulton-Harris, Representation Theory: a First Course, Springer-Verlag, 1991
Knapp, Lie Groups beyond an Introduction, Birkhäuser, 2002
Humphreys, Introduction to Lie algebras and representation theory, Springer-Verlag, 1972
Milnor, Topology from the differentiable viewpoint, University Press of Virginia, 1965
L.San Martin, Álgebras de Lie, editora Unicamp, 2009
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