Mês: janeiro 2025

Na próxima segunda-feira (20/01), daremos início ao minicurso “Introdução à Teoria dos Grafos e Aplicações”, o qual será ministrado pelas professoras Cybele Vinagre (UFF) e Miriam Abdon (UFF).

O minicurso ocorrerá nos dias 20, 22 e 24 de janeiro, de 10h às 12h, na sala 411 – Bloco H – Campus Gragoatá.

Seguem abaixo as informações do minicurso:

Nível: Mestrado

Público alvo: O curso requer que o estudante tenha conhecimentos básicos de Álgebra Linear, aqueles que tipicamente constam de um curso de graduação em Matemática e áreas afins. É adequado a estudantes em final de graduação, de Iniciação Científica e mestrado.

Também para doutorandos ou matemáticos interessados em uma outra área.

Programação: A Teoria Espectral de Grafos tem como principal objetivo a descrição de propriedades estruturais de um grafo a partir de seu espectro, isto é, dos autovalores de matrizes associadas a ele. Por exemplo, é possível mostrar que o número de vértices, de arestas e de triângulos de um grafo são determinados pelo seu espectro (mas o número de quadrados, não). Vários parâmetros espectrais são inspirados ou fundamentados em aplicações importantes. A conectividade algébrica de um grafo e a energia de um grafo são exemplos de invariantes que têm origem em observações reais, mas cujo desenvolvimento matemático transcendeu as aplicações.

Neste minicurso, nosso objetivo é introduzir os conceitos fundamentais da Teoria Espectral de Grafos, de modo que iniciantes neste campo de estudo possam ter uma visão geral das principais técnicas empregadas, que fazem uso da Álgebra Linear e da Teoria de Matrizes, além, claro, de conceitos básicos da própria Teoria de Grafos. Também falaremos da abrangência de alguns problemas em aberto e de algumas aplicações. Abordaremos as propriedades espectrais principalmente das matrizes de adjacência e laplaciana e, de forma mais sucinta, das matrizes laplaciana sem sinal e distância. O minicurso seguirá de perto a referência [CM1]. Outras referências são [CM3] e [CM2]. Tópicos:

• Matriz de adjacência: Polinômio característico e espectro de um grafo, espectro de certos tipos de grafos, propriedades. Aplicação: contagem de cadeias e energia de grafos.

• Matriz laplaciana: Conceitos e resultados preliminares, incluindo propriedades da matriz de incidência de grafos. Sobre o teorema da matriz-árvore. Conectividade algébrica e algumas aplicações.

• Sobre as matrizes laplaciana sem sinal e matriz distância de grafos: conceitos preliminares e principais resultados.

Pré-requisitos: Álgebra Linear nível graduação.

Bibliografia do curso:

[CM1] N. Abreu, R.R. Del-Vecchio, C.T.M. Vinagre, and Stevanovic Introdução à Teoria Espectral de Grafos com Aplicações. SBMAC, Notas de Matemática Aplicada, 2a edição, 2012.

[CM2] Norman Biggs. Algebraic graph theory, volume No. 67 of Cambridge Tracts in Mathematics. Cambridge University Press, London, 1974.

[CM3] Andries E. Brouwer and Willem H. Haemers. Spectra of graphs. Universitext. Springer, New York, 2012.

Esperamos vocês!